جبر المجموعات Set Algebra

النبذة

نملك القمّة والقاع. الآن نبني الوسط — حيث تعيش كل الأنواع المفيدة. أداتان فقط: | (اتحاد) و & (تقاطع). لكن خلفهما مفاجأتان تكشفان إن كنت فهمت العدسة حقاً: لماذا الاتحاد يضيّق ما تستطيع فعله رغم أنه يوسّع ما تستطيع تخزينه، ولماذا string & number نوعٌ مستحيل. ثم نُغلق سؤالاً عالقاً من الإقليم ١: لماذا let x = 5 و const x = 5 يعطيان نوعين مختلفين — قصّة التوسيع (widening).

اللغز المستفزّ

لغزان متجاوران، وحدْسك الأوّل سيخطئ في كليهما — وهذا هو المقصود:

اللغز الأول: A | B "أكبر" من A (يحوي قيماً أكثر). إذاً منطقياً يجب أن تستطيع فعل أكثر به، صح؟

typescript
function f(x: string | number) {
  return x.toUpperCase();   // ❌ المترجم يرفض! لماذا؟
}

مجموعة أوسع، قدرات أقلّ. كيف؟

اللغز الثاني: A & B "أصغر" من A. فماذا يكون تقاطع مجموعتين لا تشتركان في أي قيمة؟

typescript
type Weird = string & number;   // ما هذا النوع؟ وهل يمكن أن توجد قيمته؟

قبل أن تكمل، خمّن: ما القيمة التي تكون نصاً ورقماً في آنٍ واحد؟

الدرس

الاتحاد A | B = اتحاد المجموعتين

string | number هو حرفياً {كل النصوص} ∪ {كل الأرقام}. قيمةٌ تنتمي للنوع إن كانت في A أو في B. مباشر. الإسناد إلى اتحاد سهل: أي نص يدخل (لأنه في أحد الطرفين)، وأي رقم يدخل.

المفاجأة في الاتجاه الآخر: ماذا تستطيع أن تفعل بقيمةٍ من النوع A | B؟

فكّر كالمُبرهِن. عنده قيمة x يعرف فقط أنها "نص أو رقم"، لا يعرف أيّهما. أي عملية يسمح بها يجب أن تكون آمنة في كلتا الحالتين. toUpperCase() موجودة على النصوص لا الأرقام؛ لو كانت x رقماً لانفجرت. فيرفضها. لكن x.toString() موجودة على الاثنين، فيقبلها.

هذا يحلّ اللغز الأول تماماً: المجموعة الأوسع تعطي ضماناتٍ أقل مشتركة، فقدراتٍ أقل. الاتساع في التخزين = ضيق في الاستعمال.

التقاطع A & B = تقاطع المجموعتين

A & B هي القيم التي في A و في B معاً. هنا الفائدة الحقيقية مع الكائنات، وستفهمها تماماً في الإقليم ٥، لكن البذرة:

typescript
type Named = { name: string };
type Aged  = { age: number };
type Person = Named & Aged;   // كائن له name: string و age: number معاً

لماذا التقاطع يُنتج كائناً له كلتا الخاصيتين، رغم أن "تقاطع" يوحي بالأقل؟ لأن عضوية المجموعات معكوسة عن عدد الخصائص: كلّما زادت الشروط (الخصائص المطلوبة)، قلّ عدد الكائنات التي تستوفيها. مجموعة "الكائنات التي لها name" ضخمة. مجموعة "التي لها name و age" أصغر (تقاطع). فالكائن الناتج أغنى بالخصائص لأن مجموعته أضيق. أمسِك هذا الانعكاس جيداً؛ من لا يمسكه يظنّ & و | معكوسين عمّا هما عليه.

المفاجأة: string & number = never

الآن طبّق التقاطع على البدائيّات (primitives). أي قيمة تنتمي لـ string و number معاً؟ لا توجد. لا قيمة في JavaScript هي نصٌّ ورقمٌ في آن. التقاطع خالٍ. ومجموعة خالية اسمها — كما تعلّمت في الإقليم ٢ — never.

typescript
type Weird = string & number;   // النوع: never

ليست رسالة خطأ غريبة بل نتيجة حسابية صحيحة: {نصوص} ∩ {أرقام} = ∅ = never. لو رأيت never يظهر فجأة في كودك دون قصد، فغالباً قاطعت من حيث لا تدري نوعين لا يتقاطعان. الآن تقرؤها كرسالة: "طلبتَ قيمةً مستحيلة". العدسة تتنبّأ بالسلوك بدل أن تتفاجأ به — وهذا كل الهدف.

الأنواع الحرفية (literal types) ومنها نبني المجموعات المحدودة

في الإقليم ١ رأينا أن 5 و "hi" و true أنواع (مجموعات مفردة). اتحاد الحرفيّات يعطيك أداة هائلة: مجموعة محدودة من القيم المسموحة بالضبط — وهي إجابة اللغز (ج) العالق من الإقليم ١:

typescript
type Answer = "yes" | "no";            // المجموعة {"yes", "no"} فقط
type Dir = "north" | "south" | "east" | "west";
type Bit = 0 | 1;

هذا يحلّ مشكلةً ضخمة كانت تُحلّ في JS بثوابت نصّية هشّة: الآن let a: Answer = "maybe" يُرفض لأن {"maybe"} ⊄ {"yes","no"}. مجموعة معرّفة بالتعداد. (في الإقليم ٤ سترى كيف أن اتحاد الحرفيّات + التضييق يصنعان "discriminated unions" — أقوى نمط نمذجة في اللغة.)

السؤال العالق: التوسيع (widening) — لماذا let و const يختلفان

الآن نسدّ الدين من لغز (د) في الإقليم ١. جرّب وراقب ما يستنتجه المترجم:

typescript
let a = 5;        // النوع المستنتَج: number   (وُسِّع!)
const b = 5;      // النوع المستنتَج: 5         (لم يُوسَّع)

لماذا يختلفان رغم أن القيمة 5 واحدة؟ ارجع للمبدأ الجوهري من الإقليم ١: المترجم يستنتج مجموعة القيم التي قد تصيرها، لا القيمة اللحظية.

• const b = 5: b ثابت، لا يُعاد إسناده أبداً. مجموعة قيمه المحتملة عبر حياته كلها هي {5} بالضبط. فالنوع الأدقّ 5.
• let a = 5: a قابل لإعادة الإسناد لاحقاً، وغالباً برقم آخر (a = 10). لو ثبّته المترجم على 5، لمنعك من a = 10، وهذا غالباً ليس ما تريد من let. فيتّخذ قراراً عمليّاً: يوسّع المجموعة من {5} إلى أقرب نوع أوسع طبيعي = number. هذا التوسيع (widening).

وحين تريد ضيقاً صريحاً حتى مع let أو داخل كائن، تستعمل as const:

typescript
let c = "north" as const;       // النوع: "north"  (مجموعة مفردة، رغم let)
const obj = { dir: "north" };           // dir نوعه string (وُسِّع)
const frozen = { dir: "north" } as const; // dir نوعه "north"، وكل شيء readonly

as const تقول للمترجم: "لا توسّع؛ خذ أضيق نوع ممكن وعامله كثابت". ستحتاجها كثيراً حين تبني أنواعاً من قيم. (لاحظ أيضاً أنها تجعل الخصائص readonly — موضوع تربطه بالإقليم ٥.)

اللغز / التمرين

typescript
function p(x: string | number) {
  x.toString();      // ؟
  x.toUpperCase();   // ؟
  x.toFixed(2);      // ؟  (toFixed خاصة بالأرقام)
}
type T1 = ("a" | "b") & ("b" | "c");    // أي مجموعة؟ عدّد عناصرها.
type T2 = ("a" | "b") & ("c" | "d");    // ؟
type T3 = boolean & true;               // ؟  (تذكّر boolean = true | false)

typescript
let a = "hi";                       // ؟
const b = "hi";                     // ؟
let c = b;                          // ؟  (انتبه: نسخنا من const)
const arr = [1, 2, 3];              // ؟  (ما نوع العناصر؟)
const t = [1, "x"] as const;        // ؟  (قارن مع السطر السابق)
function id(x = "north") { return x; }   // ما نوع x المستنتَج؟ ولماذا ليس "north"؟

typescript
type A = { tag: "a" };
type B = { tag: "b" };
declare let x: A | B;
declare let y: A & B;

الخلاصة — وصلٌ في الشجرة